컨볼루션 Convolution

합성곱

기존 대수에서 하던 연산과 다른 새로운 연산 규칙을 말함

• 시간 영역에서 컨볼루션이 주파수 영역에서 단순 곱으로 표현 할 수 있음
• 시간영역에서 두신호의 컨볼루션은 주파수 영역의 푸리에 변환된 신호의 곱으로 표현 할 수 있음

$x(t) * h(t) = \int x(\tau) h(t - \tau) d\tau$

단위 임펄스 신호

• 디렉 델타 함수
• 임펄스 입력이 가해졌을 때 시스템에 의해 나타나는 출력을 임펄스 응답이라고 함

Proof

신호 ( x(t) )에 시스템 ( S )를 적용한 결과 ( y(t) )는 시스템의 응답과 ( x(t) )의 컨볼루션으로 표현할 수 있음

$$y(t) = S[x(t)], \quad \text{여기서} \quad x(t) \text{와} \quad h(t) \text{의 컨볼루션은} \quad x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \text{입니다.}$$

이는 다음과 같이 변형됩니다:

$$y(t) = S[x(t)] = S \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \right]$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) S[\delta(t - \tau)] d\tau, \quad \text{시스템은} \quad \delta(t - \tau) \text{에 대해 불변이므로} \quad S[\delta(t - \tau)] \text{는} \quad h(t - \tau) \text{로 표현됩니다. (시스템의 응답)}$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau, \quad S[\delta(t)] = h(t) \text{이고, 시스템 응답에 의해} \quad S[\delta(t - \tau)] = h(t - \tau)$$ $$= x(t) * h(t)$$

위의 수식들은 신호와 시스템의 컨볼루션을 통해 시스템의 출력을 결정하는 과정을 나타냅니다.